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日志

 
 

Coin problem  

2012-06-04 23:56:13|  分类: 数论 |  标签: |举报 |字号 订阅

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       给你n个正整数{a1,a2,……,an},并且gcd(a1,a2,……,an)=1。求出最大的不能被sum=k1a1 + k2a2 + ··· + knan表示的整数x,其中ki>=0,(1<=i<=n)。

       第一次看见这个问题是在数论概论的习题上,求解n=2的情况,并问你能否推广到n>2的情况。然后我一直都试图对n>2的情况进行求解,但都没有什么头绪,直到前段时间试着在CodeForces的Blog上发帖子问了一下才得到了解答:对于n>2的情况,没有多项式时间的算法。具体在Wikipedia上有介绍。

       n=2的时候,x=a1*a2-a1-a2。证明:s=a1*k1+a2*k2,对于a1*i%a2,i从0~a2-1组成了0~a2-1的对a2的剩余系,那么对于任意的s>=(a2-1)*a1,必然是可以表示的,s=(a2-1)*a1是最小的可以被表示的对a2余(a2-1)*a1%a2的数,那么最大的不能表示的数就为(a2-1)*a1-a2,所以x=a1*a2-a1-a2。
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